MATLAB 微积分

  • 微积分

    MATLAB提供了多种方法来解决微分和积分问题,求解任意程度的微分方程式以及计算极限。最重要的是,您可以轻松求解复杂函数的图,并通过求解原始函数及其导数来检查图上的最大值,最小值和其他文具点。
    本章将讨论微积分的问题。在本章中,我们将讨论微积分前的概念,即计算函数的极限并验证极限的性质。
    在下一章“差异”中,我们将计算表达式的导数,并在图上找到局部最大值和最小值。我们还将讨论求解微分方程。
    最后,在集成一章中,我们将讨论积分。
  • 计算极限

    MATLAB提供了用于计算极限的极限函数。在其最基本的形式中,limit函数将expression作为参数,并在自变量变为零时找到表达式的极限。
    例如,让我们计算函数的极限f(x)=(x 3 + 5)/(x 4 + 7),因为x趋于零。
    
    syms x
    limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))
    
    MATLAB将执行上述语句并返回以下结果-
    
    ans =
       5/7
    
    极限函数属于符号计算领域。您需要使用syms函数来告诉MATLAB您正在使用哪些符号变量。您还可以计算函数的极限,因为变量趋向于除零以外的某个数字。为了计算lim x-> a(f(x)),我们使用带参数的limit命令。第一个是表达式,第二个是x逼近的数字,这里是a。 例如,让我们计算函数f(x)=(x-3)/(x-1)的极限,因为x趋于1。
    
    limit((x - 3)/(x-1),1)
    
    MATLAB将执行上述语句并返回以下结果-
    
    ans =
       NaN
    
    再举一个例子
    
    limit(x^2 + 5, 3)
    
    MATLAB将执行上述语句并返回以下结果-
    
    ans =
       14
    
  • 使用Octave计算极限

    以下是使用符号包的上述示例的八度版本,请尝试执行并比较结果-
    
    pkg load symbolic
    symbols
    
    x = sym("x");
    subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)
    
    执行以上语句并返回以下结果-
    
    ans =
       0.7142857142857142857
    
  • 极限基本属性的验证

    代数极限定理提供了极限的一些基本性质。这些如下-
    calculus
    让我们考虑两个功能-
    • f(x)=(3x + 5)/(x-3)
    • g(x)= x 2 + 1。
    让我们计算x趋于5的两个函数的极限,并使用这两个函数和MATLAB验证极限的基本属性。
    - 创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-
    
    syms x
    f = (3*x + 5)/(x-3);
    g = x^2 + 1;
    l1 = limit(f, 4)
    l2 = limit (g, 4)
    lAdd = limit(f + g, 4)
    lSub = limit(f - g, 4)
    lMult = limit(f*g, 4)
    lDiv = limit (f/g, 4)
    
    运行文件时,它显示-
    
    l1 =
       17
      
    l2 =
       17
      
    lAdd =
       34
     
    lSub =
       0
      
    lMult =
       289
      
    lDiv =
       1
    
  • 使用Octave验证极限的基本属性

    以下是使用符号包的上述示例的八度版本,请尝试执行并比较结果-
    
    pkg load symbolic
    symbols
    
    x = sym("x");
    f = (3*x + 5)/(x-3);
    g = x^2 + 1;
    
    l1 = subs(f, x, 4)
    l2 = subs (g, x, 4)
    lAdd = subs (f+g, x, 4)
    lSub = subs (f-g, x, 4)
    lMult = subs (f*g, x, 4)
    lDiv = subs (f/g, x, 4)
    
    执行以上语句并返回以下结果-
    
    l1 =
       17.0
    l2 =
       17.0
    lAdd =
       34.0
    lSub =
       0.0
    lMult =
       289.0
    lDiv =
       1.0
    
  • 左右极限

    当函数对某个特定值的变量具有不连续性时,此时不存在限制。换句话说,函数f(x)的极限在x = a处具有不连续性,当x的值从左侧接近x时,极限值不等于x的值从右侧接近时的极限值。
    这导致了左和右极限的概念。左极限定义为从x的左边开始的极限x-> a,即,对于x < a的值,x接近a。右手极限定义为从x到右的极限,即x-> a,即对于x > a的值,x接近a。当左手极限和右手极限不相等时,该极限不存在。
    让我们考虑一个函数-
    
    f(x)=(x-3)/ | x-3 |
    
    我们将证明lim x-> 3 f(x)不存在。MATLAB通过两种方式帮助我们建立这一事实-
    • 通过绘制函数图并显示不连续性。
    • 通过计算极限并显示两者是不同的。
    左和右极限是通过将字符串“left”和“right”作为最后一个参数传递给limit命令来计算的。
    - 创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-
    
    f = (x - 3)/abs(x-3);
    ezplot(f,[-1,5])
    l = limit(f,x,3,'left')
    r = limit(f,x,3,'right')
    
    运行文件时,MATLAB绘制以下图
    calculus
    在此之后显示输出-
    
    l =
       -1
      
    r =
       1