SymPy - 积分

简述

SymPy 包包含积分模块。它实现了计算表达式的定积分和不定积分的方法。integrate() 方法用于计算定积分和不定积分。要计算不定积分或原始积分，只需在表达式后面传递变量。

例如 -
```
integrate(f, x)
```
要计算定积分，请按如下方式传递参数 -
```
(integration_variable, lower_limit, upper_limit)
```
```
>>> from sympy import * 

>>> x,y = symbols('x y') 

>>> expr=x**2 + x + 1 

>>> integrate(expr, x)
```
上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$$\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$$
```
>>> expr=sin(x)*tan(x) 

>>> expr 

>>> integrate(expr,x)
```
上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$$-\frac{\log(\sin(x) - 1)}{2} + \frac{\log(\sin(x) + 1)}{2} - \sin(x)$$

下面给出了定积分的例子 -
```
>>> expr=exp(-x**2) 

>>> integrate(expr,(x,0,oo) )
```
上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$$\frac{\sqrt\pi}{2}$$

您可以传递多个限制元组来执行多重积分。下面给出一个例子 -
```
>>> expr=exp(-x**2 - y**2)

>>> integrate(expr,(x,0,oo),(y,0,oo))
```
上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$$\frac{\pi}{4}$$

您可以使用 Integral 对象创建未评估的积分，可以通过调用 doit() 方法对其进行评估。
```
>>> expr = Integral(log(x)**2, x) 

>>> expr
```
上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$$\int \mathrm\log(x)^2 \mathrm{d}x$$
```
>>> expr.doit()
```
上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$$x\log(x)^2 - 2xlog(x) + 2x$$
积分变换

SymPy 支持各种类型的积分变换，如下所示 -
- 拉普拉斯变换
- 傅里叶变换
- 正弦变换
- 余弦变换
- hankel_transform
这些函数在 sympy.integrals.transforms 模块中定义。以下示例分别计算傅立叶变换和拉普拉斯变换。

Example 1
```
>>> from sympy import fourier_transform, exp 

>>> from sympy.abc import x, k 

>>> expr=exp(-x**2) 

>>> fourier_transform(expr, x, k)
```
在 python shell 中执行上述命令时，将生成以下输出 -
```
sqrt(pi)*exp(-pi**2*k**2)
```
这相当于 -

$$\sqrt\pi * e^{\pi^2k^2}$$

Example 2
```
>>> from sympy.integrals import laplace_transform 

>>> from sympy.abc import t, s, a 

>>> laplace_transform(t**a, t, s)
```
在 python shell 中执行上述命令时，将生成以下输出 -
```
(s**(-a)*gamma(a + 1)/s, 0, re(a) > -1)
```

SymPy - 积分

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积分变换